sum
$\sum$ sigma
$\sum$ 是求和符号，发音是[‘sɪgmə]，英文里叫sum。求和符号是对求和内容的简写，并不是运算。又一人类为了偷懒的产物
$$ \sum_{B}^{A}C $$
A: 求和上限
B: 求和下限 or 所求和的数的特征或性质
C: 求和内容
常见的例子 $\sum_{i=1}^{n}a_i$ ，表示从 $i = 1$ 开始取值，取到 $n$ 为止，将所有的数相加，
即 $$\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n$$
接下来看下面这些例子：
$$ \sum_{i=1}^{n}a_i = \sum_{j=1}^{n}b_j = \sum_{k=1}^{n}c_k $$
$$ \sum_{i=1}^{4}a_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30 $$
$$ \sum_{i=1}^{666}1 = 666 $$
可以看出，$\sum$ 符号内的字母可以是任意的，求和内容也可以是常数，
另外的，当上限为无限是，它就有了个新名称：无穷级数：$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$
下面介绍其它几种常用表示方法：
为了更加偷懒，于是有了集合表示。例如 $A$ = {所有偶数} ，那么所有偶数的和为 $\sum_{n\in A} n$
即 $$ \sum_{n\in A}n = \sum_{n=0}^{\infty}2n $$
若 $N$ = {自然数}，那么所有自然数的倒数和为 $$ \sum_{n \in N}n^{-1} = \sum_{i=1}^{\infty}n_{i}^{-1} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … $$
常在数论中出现，所以不细谈
在数论中, $d\mid n$ 表示 $d$ 能整除 $n$ ，则 $\sum_{d\mid n}d$ 表示 $d$ 的所有因数和
比较好理解，给你一个式子就懂了
$$ \sum_{1\le i \le 4}a_i = \sum_{i=1}^{4}a_i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$$
当然，求和变量可以有多个，例如
$$ \sum_{1\le n, m\le 2}f(n, m) = f(1, 1) + f(1, 2) + f(2, 1) + f(2, 2) $$
把集合表示中的例子改一改就是描述表示，适用于比较复杂的一类数，或自定义类型的数，例如
$$ \sum_{n是自然数}n^{-1} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + …$$
类似多个变量求和，例如：
$$ \sum_{n=1}^{2} \sum_{m=1}^{2} f(n, m) = \sum_{m=1}^{2} \sum_{n=1}^{2} f(n, m) = \sum_{1\le n, m\le 2}f(n, m) = f(1, 1) + f(1, 2) + f(2, 1) + f(2, 2)$$
$$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{x} \sum_{l=1}^{y} a_i b_j c_k d_l = … $$
要是求和变量太多，写成范围的形式会更好,例如：
$$ \sum_{1\le x_1, x_2 .. x_8, x_9 \le 4} f(x_1, x_2 .. x_8, x_9) $$
轮番求和
$$ \sum_{cyc}a^2 b = x^2 y + y^2 z + z^2 x $$
对称求和
$$ \sum_{sym}a^2 b = x^2 y + x^2 y + y^2 x + y^2 z + z^2 x + z^2 y $$
可以把以上多种表示写到一起
$$ \sum_{1\le n \le 20, n为素数}n = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19$$
首先，我不是数学脑，其次，我数学不好…….
参考文献